磁 Schrödinger 算子本征函数的锐利构造

我们证明了方程 $-\Delta u + W\cdot \nabla u + V u = \la u$ 解的定量唯一延拓结果的锐利性，其中 $\la \in \C$，且 $V$ 和 $W$ 是满足 $|V(x)| \lesssim <x>^{-N}$ 和 $|W(x)| \lesssim <x>^{-P}$ 的复值衰减势。对于 $M(R) = \inf_{|x_0| = R}||u||_{L^2(B_1(x_0))}$，一篇 companion 论文中已证明，若解 $u$ 非零、有界且 $u(0) = 1$，则 $M(R) \gtrsim \exp(-C R^{\be_0}(\log R)^{A(R)})$，其中 $\be_0 = \max\{2 - 2P, (4-2N)/3, 1\}$。在关于 $N$、$P$、$\la$ 和维度的特定条件下，我们构造了示例（其中一些具有 Meshkov 风格）以证明该 $M(R)$ 估计是锐利的。也就是说，我们构造了函数 $u$、$V$ 和 $W$，使得 $-\Delta u + W\cdot \nabla u + V u = \la u$，$|V(x)| \lesssim <x>^{-N},$ $|W(x)| \lesssim <x>^{-P}$ 且 $|u(x)| \lesssim \exp(-c|x|^{\be_0}(\log |x|)^C)$。