基于 $\nabla$-定理的黎曼流形上薛定谔方程的多解问题

我们考虑维数 $d \geq 3$ 的光滑、完备且非紧的黎曼流形 $(\mathcal{M},g)$，并寻找半线性椭圆方程 $$-\Delta_g w + V w = \alpha f(w) + \lambda w \quad\hbox{in $\mathcal{M}$}.$$ 的正解。势函数 $V \colon \mathcal{M} \to \mathbb{R}$ 是在适当意义下强制的连续函数，而非线性项 $f$ 在 Sobolev 嵌入意义下具有次临界增长。借助 Marino 与 Saccon 引入的 $\nabla$-定理，我们证明一旦参数 $\lambda$ 充分接近算子 $-\Delta_g$ 的特征值，则至少存在三个解。