低维m-Laplacian方程径向解的唯一性

本文将Serrin和Tang的唯一性结果推广至低维情形 $1\leq N\leq m$，其中 $m>1$。我们考虑径向解的过定问题\n\n$$\begin{cases} -\Delta_m u = f(u), \quad u>0 & \text{在 } B_R,\\\n u = \partial_\nu u = 0 & \text{在 } \partial B_R, \text{若 } R<\infty,\\\n \displaystyle\lim_{|x|\to\infty} u(x)=0, & \text{若 } R=\infty, \end{cases}$$\n其中 $B_R$ 为以原点为中心，半径为 $R>0$ 的开球（当 $R=\infty$ 时对应整个空间，用于研究正根态解）。在非线性项 $f$ 适当假设下，我们建立了此类解的唯一性，只要其存在即可。我们的分析动机来自与Gagliardo--Nirenberg不等式和Nash不等式的紧形式的联系。尽管总体框架遵循Serrin和Tang的方法，但我们的证明细节在低维情形下存在显著差异。特别是，Serrin和Tang明确指出，其技术依赖于条件 $N>m$，且难以推广至 $N\leq m$（见他们论文第6.2节）。本文填补了这一空白，从而为所有维度提供了完整的唯一性理论。具体而言，对于标准非线性 $f(u) = -u^p + u^q$ 带 $p<q$ 的情形，结果覆盖完整范围 $-1 < p < q < m^*-1$，其中 $m^*:=\frac{Nm}{N-m}$ 当 $N>m$，且 $m^* = \infty$ 当 $N\leq m$。因此，本文也完全解决了Pucci和Serrin提出的开放问题[\textit{Indiana Univ. Math. J.}, 47 (1998), pp. 501--528]，该问题在N>m时已由Serrin和Tang在此之前解决。