无界域中分数阶 p-方程解的最大值原理与单调性

在本文中，我们考虑无界域 $\Omega$ 中具有以下外部 Dirichlet 条件的非线性方程：\begin{equation*}\begin{cases} (-\Delta)_p^s u(x)=f(u(x)), & x\in\Omega,\\ u(x)>0, &x\in\Omega,\\ u(x)\leq0, &x\in \mathbb{R}^n\setminus \Omega, \end{cases}\end{equation*} 其中 $(-\Delta)_p^s$ 是分数阶 p-Laplacian，定义为 \begin{equation} (-\Delta)_p^s u(x)=C_{n,s,p}P.V.\int_{\mathbb{R}^n}\frac{|u(x)-u(y)|^{p-2}[u(x)-u(y)]}{|x-y|^{n+s p}}dy \label{0} \end{equation}，其中 $0<s<1$ 且 $p\geq 2$。我们首先通过沿一列近似最大值点估计 (\ref{0}) 中的奇异积分，建立了涉及分数阶 p-Laplacian 的无界域最大值原理。然后，我们得到了解在远离边界处的渐近行为。最后，我们发展了分数阶 p-Laplacian 的滑动方法，并应用它推导解的单调性唯一性。对于正则 Laplacian \cite{BCN1} 和分数阶 Laplacian \cite{DSV}（它们是线性算子）已有类似结果。遗憾的是，那里的许多方法在此处完全非线性的分数阶 p-Laplacian 上不再适用。为克服这些困难，我们引入了若干新想法，使我们不仅能处理非线性非局部方程，还能显著弱化对 $f(\cdot)$ 和域 $\Omega$ 的条件。我们相信本文发展的新方法可广泛应用于无界域中涉及非线性非局部算子的许多问题。