完全非线性分数阶方程的最大值原理与解的对称性

在本文中，我们考虑涉及完全非线性非局部算子的方程 $$F_{\alpha}(u(x)) \equiv C_{n,\alpha} PV \int_{\mathbb{R}^n} \frac{G(u(x)-u(z))}{|x-z|^{n+\alpha}} dz= f(x,u).$$ 我们证明了一个最大值原理，并获得了进行移动平面法（method of moving planes）的关键要素，例如窄区域原理和无穷远衰减。然后，我们针对单位球和整个空间中的此类完全非线性分数阶方程的Dirichlet问题，建立了正解的径向对称性和单调性，以及在半空间上解的不存在性。我们相信此处发展的方法可应用于涉及完全非线性非局部算子的各种问题。我们还研究了当$\alpha \rightarrow 2$时该算子的极限，并表明 $$F_{\alpha}(u(x)) \rightarrow a(-\Delta u(x)) + b |\bigtriangledown u(x)|^2 .$$