变阶非局部问题中基于反对称极大值原理的对称性

我们考虑非线性问题 $$(P) \;\; I u=f(x,u) \text{ in $\Omega$,} \;\; u=0 \text{ on $\mathbb{R}^{N}\setminus\Omega$ }$$ 其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^{N}$ 是一个有界开集，$I$ 是一个可能是各向异性且具有变阶的非局部算子。我们假设 $I$、$\Omega$ 和非线性项 $f$ 关于某个固定方向（例如 $x_1$）满足温和的对称性和单调性假设，并证明 $(P)$ 的任何非负弱解 $u$ 在 $x_1$ 方向上是对称的。此外，我们有如下二选一结论：要么在 $\Omega$ 中 $u\equiv 0$，要么 $u$ 在 $|x_1|$ 上严格递减。证明依赖于针对一类相关线性问题的反对称上解的新极大值原理。