完全非线性方程粘性解的最大值原理与对称性结果

本文关注完全非线性偏微分方程粘性解的最大值原理和径向对称性。在无穷远处渐近衰减率 $u=o(|x|^{-\frac{2}{p-1}})$ 的条件下，其中 $p>1$（定理 1，推论 1），我们得到了方程 \begin{equation}F (D^2 u)+u^p=0 \quad \quad \mbox{in}\ \mathbb R^n \label{abs}\end{equation} 的非负粘性解的径向对称性和单调性性质。作为对称性结果的推论，当 $F$ 为 Pucci 极值算子时，我们得到了任何非平凡非负解的不存在性（推论 2）。我们的对称性和单调性结果同样适用于 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程或 Isaacs 方程。我们建立了完全非线性椭圆型方程粘性解的一个新最大值原理（定理 2）。由此，得到了有界域和无界域上不同形式的最大值原理。我们展示了穿孔球上完全非线性椭圆型方程的径向对称性、单调性及相应的最大值原理（定理 3）。我们还研究了完全非线性抛物型偏微分方程粘性解的径向对称性（定理 4）。