算术随机波的节点分支数

我们研究算术随机波系综中函数的节点分支（零集的连通分量）的数量，即平坦的 $d$ 维环面 $\mathbb{T}^{d}$（$d\ge2$）上拉普拉斯算子的随机特征函数。设 $f_{L}$ 为 $\mathbb{T}^{d}$ 上方程 $\Delta f+4\pi^{2}L^{2}f=0$ 的随机解，其中 $L^{2}$ 为 $d$ 个整数平方之和，并令 $N_{L}$ 为 $f_{L}$ 的节点分支随机数量。根据 Nazarov 和 Sodin 的近期结果，当 $L\to\infty$ 且满足数论条件——半径为 $L$ 的球面上归一化格点在单位球面上的等分布——时，$\mathbb{E}\left\{ N_{L}/L^{d}\right\}$ 趋于一个仅依赖于 $d$ 的极限 $\nu>0$。当 $d\ge5$ 时该条件自动满足，但当 $2\le d\le4$ 时对 $L$ 的取值序列施加了限制。我们证明了随机变量 $N_{L}/L^{d}$ 围绕其中位数和均值（无条件地）以及围绕其极限均值 $\nu$（在极限存在的条件下）的指数集中性。