节点体积的 Laguerre 展开及其应用

我们研究了 $d$ 维单位球面（$d\ge 2$）上随机超球面调和函数 $\lbrace T_{\ell;d}\rbrace_{\ell\in \mathbb N}$ 的节点体积。我们利用 Laguerre 多项式进行正交展开；这种表示大幅降低了计算复杂度，并允许证明混沌分量的各向同性，这是先前文献中遗留的未解问题。作为进一步的应用，我们建立了我们的主要结果，即任意维度下节点体积的方差界；对于 $d\ge 3$ 且当特征值发散时（即 $\ell\to +\infty$），我们得到了上界 $O(\ell^{-(d-2)})$（我们猜想该界是紧致的）。作为推论，我们证明了所谓的 Berry 抵消现象在任意维度中均成立：即在高能极限下，节点方差比任意非零阈值处等值集合体积的方差小一个数量级。