关于算术随机波节点体积的方差

Rudnick 与 Wigman（Ann. Henri Poincaré, 2008; arXiv:math-ph/0702081）猜想：$d$ 维环面上算术随机波的节点集体积的方差为 $O(E/\mathcal{N})$，当 $E\to\infty$ 时，其中 $E$ 为能量，$\mathcal{N}$ 为对应于 $E$ 的特征空间维数。先前结果在 $d=2$ 与 $d=3$ 时以更强渐近性确立了该猜想。在本短文中，我们对任意 $\epsilon>0$ 与 $d\geq 4$ 证明了形式为 $O(E/\mathcal{N}^{1+\alpha(d)-\epsilon})$ 的上界，其中 $\alpha(d)$ 为正且随 $d$ 趋于零。由于 Bourgain 与 Demeter 对 $\ell^{2}$-解耦猜想的证明，当 $d\geq 5$ 时该幂次节省（模 $\epsilon$）是当前方法下的最佳可能。