随机实代数子流形体积的方差 II

设 $\mathcal{X}$ 为定义在实数域上的 $n$ 维复射影流形，$M$ 为其实轨迹。我们研究 $M$ 中随机实全纯截面 $s_d$ 的零点轨迹 $Z_{s_d}$，其中 $s_d$ 来自 $\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}^d$，$\mathcal{L} \to \mathcal{X}$ 为丰沛线丛，$\mathcal{E} \to \mathcal{X}$ 为秩 $r$ 的厄米特丛，$r \in \{1,\dots, n\}$。我们建立了当 $d$ 趋于无穷时，与 $Z_{s_d}$ 相关的线性统计量方差的渐近式。该渐近式的阶为 $d^{r-\frac{n}{2}}$。作为特例，我们得到 $Z_{s_d}$ 体积的渐近方差。本文从本质上以两种方式扩展了第一作者在文献[20]中的结果。首先，我们的主要定理涵盖了最大余维数（$r = n$）的情形，这在[20]中被遗漏。其次，我们证明渐近式中的主导常数为正。最后这一结果通过研究与 $\mathbb{RP}^n$ 中 $r$ 个独立 Kostlan–Shub–Smale 多项式的公共零点集相关的线性统计量的 Wiener–Itô 展开得以证明。