随机实代数子流形体积的方差

设 $\mathcal{X}$ 为定义在实数域上的 $n$ 维复射影流形，并令 $M$ 表示其实点集。我们研究 $M$ 中随机实全纯截面 $s_d$ 的零点轨迹 $Z_{s_d}$，其中 $s_d$ 取自 $\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}^d$，$\mathcal{L} \to \mathcal{X}$ 为丰沛线丛，$\mathcal{E}\to \mathcal{X}$ 为秩 $r$ 的 Hermitian 丛。当 $r \in \{1,\dots , n -- 1\}$ 时，我们得到了当 $d$ 趋于无穷时，与 $Z_{s_d}$ 相关的线性统计量（包括其体积）的方差具有 $d^{r-- \frac{n}{2}}$ 阶渐近式。对于开集 $U \subset M$，我们证明当 $d$ 趋于无穷时，$Z_{s_d}$ 不与 $U$ 相交的概率是 $d^{-\frac{n}{2}}$ 的 $O$。当 $n\geq 3$ 时，我们还证明了与递增次数截面随机序列相关的线性统计量的几乎必然收敛。我们的框架包含了 $\mathbb{RP}^n$ 中作为 $r$ 个独立 Kostlan--Shub--Smale 多项式的公共零点集而获得的随机实代数子流形的情形。