随机集的零化空间及其在里德-穆勒码中的应用

我们研究 $\mathbb{F}_2^m$ 中随机点集的如下自然问题：给定随机的 $k$ 个点集 $Z=\{z_1, z_2, \dots, z_k\} \subseteq \mathbb{F}_2^m$，在所有 $Z$ 中点上为零的次数至多为 $r$ 的多线性多项式空间的维数是多少？我们证明，对于 $r \leq \gamma m$（其中 $\gamma > 0$ 为小的绝对常数）且 $k = (1-\epsilon) \cdot \binom{m}{\leq r}$（对任意常数 $\epsilon > 0$），在随机集 $Z = \{z_1,\ldots, z_k\}$ 上为零的次数至多为 $r$ 的多线性多项式空间以 $1 - o(1)$ 的概率维数恰为 $\binom{m}{\leq r} - k$。该界表明，与最坏情况界（由 Wei (IEEE Trans. Inform. Theory, 1991) 给出）$\binom{m}{\leq r} - \binom{\log_2 k}{\leq r} \gg \binom{m}{\leq r} - k$ 相比，随机集上具有次数至多为 $r$ 的多线性多项式零化空间的维数要小得多。利用该界，我们证明高次里德-穆勒码（在 $(1-\epsilon) \cdot \binom{m}{\leq m-d-1}$ 随机删除下，对于任一 $\epsilon > 0$，我们可以以 $1 - o(1)$ 的概率从中恢复。这也意味着在相同参数范围内，$\text{RM}(m,d)$ 也能从约 $\binom{m}{\leq m-(d/2)}$ 个随机错误中高效解码。