Reed-Muller 码在随机错误与删除下的性能研究

本工作证明了关于二进制 Reed-Muller 码从随机错误和删除中解码能力的新结果。我们通过证明高次 Reed-Muller 码重量分布的上界改进来获得这些结果。具体而言，给定重量 $\beta \in (0,1)$，我们证明了相对重量至多为 $\beta$ 的码字数量的上界。我们在两种不同设定下获得新结果：对于重量 $\beta < 1/2$ 以及对于接近 $1/2$ 的重量。我们关于重量分布的新界限意味着，具有 $m$ 个变量和次数 $\gamma m$（对于某个显式常数 $\gamma$）的 RM 码，对随机删除（即二进制删除信道）和随机错误（二进制对称信道）均达到容量。此前已知 RM 码在次数 $r = o(m)$ 时对二进制对称信道达到容量。对于二进制删除信道，已知 RM 码在次数 $o(m)$ 或 $r \in [m/2 \pm O(\sqrt{m})]$ 时达到容量。因此，我们的结果为这两个被广泛研究的信道提供了 RM 码达到容量的一组新参数范围。此外，我们的结果意味着，对于每个 $\epsilon > 0$（事实上我们可达到至多 $\epsilon = \Omega\left(\sqrt{\frac{\log m}{m}}\right)$），次数 $r<(1/2-\epsilon)m$ 的 RM 码能以高概率纠正 $1-o(1)$ 比例的随机删除。我们还表明，从信息论角度，此类码能以高概率处理 $1/2-o(1)$ 比例的随机错误。因此，例如，给定次数 $0.499m$ 多项式的带噪求值，即使其中随机 $0.499$ 比例的求值被破坏，也能以高概率将其插值恢复。尽管 $o(1)$ 项并非确保容量的正确项，这些结果表明此类次数的 RM 码在某种意义下接近达到容量。