Reed-Muller码在对称信道上达到香农容量的证明

Reed-Muller码于1954年提出，基于多项式求值的简单显式构造，长期以来被猜想在对称信道上达到香农容量。过去几十年中，借助组合重量枚举器界、擦除信道上的锐阈值突破、超收缩性论证以及极化理论，朝证明该猜想取得了重大进展。最近的另一重大进展确立了比特错误概率在容量以下缓慢趋于零。然而，当信道允许错误时，Bourgain-Kalai的结果不适用于将消失的比特错误概率转换为消失的块错误概率，已知的权重枚举器界也不适用。因此，RM码在对称信道上以高概率恢复码字达到香农容量的猜想一直悬而未决。本文完成了该猜想的证明。它使用一种新的递归提升框架，聚合码字在“子空间向日葵”上限制的解码，通过$L_p$布尔傅里叶分析处理其依赖性，并利用来自Sberlo-Shpilka的权重枚举器界进行列表解码论证。该证明不要求基例具有消失的比特错误概率，而仅需要由本文针对一般对称码获得的非平凡概率。这尤其给出了Reeves-Pfister消失比特错误概率结果的精简且收紧的论证，并结合先前工作，意味着RM码在纯态经典-量子信道上具有强线窃听保密性。