在笛卡尔积上消失的多项式：重访 Elekes-Szab\'o 定理

设 $F\in\mathbb{C}[x,y,z]$ 为常数次数多项式，$A,B,C\subset\mathbb C$ 为大小为 $n$ 的有限集。我们证明，除非 $F$ 具有特殊的群相关形式，否则 $F$ 在笛卡尔积 $A\times B\times C$ 上至多在 $O(n^{11/6})$ 个点处消失。这改进了 Elekes 和 Szab\'o [Combinatorica, 2012] 的一个定理，并推广了 Raz, Sharir 和 Solymosi [Amer. J. Math., to appear] 的结果。同样的结论在 $\mathbb{R}$ 上成立，当 $A, B, C$ 具有不同大小时也有类似的结论（此时用更复杂的界替换 $O(n^{11/6})$）。该结果为改进组合几何中各类 Erd\H os 型问题的界提供了统一工具，我们讨论了此类应用的若干实例。