乘积空间中多项式的结构与一般非 Cartesian 性质

我们发展了关于乘积复空间 $\mathbb{C}^{n_1} \times \cdots \times \mathbb{C}^{n_k}$ 上笛卡尔与非笛卡尔多项式的一般理论。我们证明，对于任意固定次数 $d \ge 2$，一个 ( Zariski ) 普遍多项式在广泛的维度范围内是非 Cartesian 的，确立笛卡尔结构高度例外。我们进一步引入判定多项式为非 Cartesian 的有效充分条件。此外，我们表明 (非) Cartesian 可通过 Gröbner 基方法和 Hilbert 空理论的量化形式进行算法判定。作为应用，我们将非 Cartesian 条件联系到几何学中，获得尖锐的交叉界限并构建展示这些估计最优性的极端配置。