多项式映射非真性集的定量性质

设 $f$ 为代数次数为 $d$ 的泛有限多项式映射 $f: \mathbb{C}^n\to \mathbb{C}^m$。受雅可比猜想研究的启发，我们证明了 $f$ 的非真性集 $S_f$ 被次数至多为 $d-1$ 的参数曲线所覆盖。该界是最优的。此外，我们证明了若 $X\subset\mathbb{R}^n$ 是被参数曲线覆盖的闭代数集，且 $f: X\rightarrow\mathbb{R}^m$ 是泛有限多项式映射，则 $f$ 的非真性集 $S_f$ 也被参数曲线覆盖。进一步，若 $X$ 被次数至多为 $d_1$ 的参数曲线覆盖，且映射 $f$ 的次数为 $d_2$，则集合 $S_f$ 被次数至多为 $2d_1d_2$ 的参数曲线覆盖。作为该结果的一个应用，我们展示了 Bia{\l}ynicki-Birula 定理的实版本：设 $G$ 是一个实的、非平凡的、连通的幂零群，它在连通光滑代数簇 $X\subset\mathbb{R}^n$ 上有效且多项式地作用。则不动点集 $Fix(G)$ 没有孤立点。