利用牛顿多面体描述多项式映射的 Jelonek 集

设 $\K=\C$ 或 $\R$，$S_f$ 为多项式映射 $f:\K^n\rightarrow\K^n$ 非真点所构成的 $\K^n$ 中的点集。Jelonek 证明了 $S_f$ 是由多项式曲线直纹化的半代数集，满足 $\dim S_f\leq n-1$，并给出了当 $\K = \C$ 时计算 $S_f$ 的方法。然而对于 $\K = \R$ 尚不存在此类方法。本文利用 $f$ 中出现的多项式的牛顿多面体，为一大类非真映射 $f$ 建立了 $S_f$ 的简明描述。从而得到一种适用于 $\K=\R$ 的计算 $S_f$ 的新方法，并揭示了多面体几何与 $S_f$ 几何之间的相互作用。作为一个应用，我们恢复了 Jelonek 的若干结果，并给出了 $f$ 的（非）真性条件。此外，我们发现了另一大类映射 $f$，其 $S_f$ 维数为 $n-1$（即便对 $\K=\R$ 亦如此），满足显式的分层结构及弱光滑性。这一新描述使我们的工具可推广至所有非真映射。