实曲线分离半群的有限性质

从实代数曲线 $X$ 到 $\mathbb{P}^1$ 的实射影映射 $f$ 若满足 $f^{-1}(\mathbb{R} \mathbb{P}^1) = \mathbb{R} X$，则称为分离映射。分离映射定义了一个覆盖 $\mathbb{R} X \to \mathbb{R} \mathbb{P}^1$。设 $X_1, \ldots, X_r$ 为 $\mathbb{R} X$ 的各组成部分。M. Kummer 和 K. Shaw 定义了曲线 $X$ 的分离半群为所有向量 $d(f) = (d_1(f), \ldots, d_r(f)) \in \mathbb{N}^{r}$ 的集合，其中 $f$ 是分离映射 $X \to \mathbb{P}^1$，且 $d_i(f)$ 是 $f$ 在 $X_i$ 上的限制的次数。在本文中，我们证明对于非负整数 $g$，所有 genus $g$ 曲线的分离半群集合是有限的。