代数上非交换多项式的求值：方法与问题，以及 L'vov-Kaplansky 猜想

设 $p$ 为具有任意特征域 $K$ 上系数的多个非交换变量中的多项式。已有猜想认为，对任意 $n$，当 $p$ 为多线性时，$p$ 在 $n$ 阶矩阵集合 $M_n(K)$ 上的像要么为零，要么为标量矩阵集合，要么为迹零矩阵集合 ${\rm sl}_n(K)$，要么为整个 $M_n(K)$。这篇综述文章描述了关于该问题及相关领域的研究。我们在第 2 节讨论 $n=2$ 时该猜想的解，在第 3 节给出 $n=3$ 时的一些决定性结果，并在第 4 节给出 $n\geq 3$ 时（也包括非多线性多项式）的部分信息。此外我们考虑 $K$ 非代数闭的情况，以及多项式在其他有限维单代数（特别是四元数代数）上的求值。本综述重新整理了我们先前论文中的结果和技术材料，以及其他研究者的新结果，并将其应用于新的语境。本文还解释了 Deligne 技巧的作用，该技巧在某些新情形下的非结合情形中有所关联，并构成了我们早先更直接方法的基础。我们提出了一些供未来推广的问题，指出了当前研究状态下可能的推广方向，另一方面也提供了反例以展示推广的边界。