模素数幂整数矩阵上的多项式方程与随机矩阵的余核

给定素数 $p$ 与正整数 $k$，令 $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z})$ 为 $\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z}$ 上的 $n \times n$ 矩阵环。我们考虑多项式方程 $P(X) = 0$ 的解 $X \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z})$ 的个数，其中 $P(t)$ 是 $(\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z})[t]$ 中的首一多项式，其模 $p$ 约化在含 $p$ 个元素的有限域 $\mathbb{F}_{p}$ 上无平方因子。注意到 $P(X) = 0$ 当且仅当 $\mathrm{cok}(P(X)) \simeq (\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z})^{n}$，我们将对 $P(X) = 0$ 解计数的问题猜想性地推广为余核 $\mathrm{cok}(P(X))$ 在同构意义下的分布，其中 $X$ 是 $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z})$ 中的均匀随机矩阵。当我们固定 $X$ 模 $p$ 的剩余类时，该分布涉及一个显式公式。我们证明了当 $P(t)$ 模 $p$ 在 $\mathbb{F}_{p}[t]$ 中的像不可约这一特殊情况下的猜想。我们解释了所得分布与 Cohen-Lenstra 分布的密切关系。我们的证明涉及 $\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z}$ 上线性代数的代数与组合论证，并建立在 Cheong 与 Kaplan 先前工作的基础之上。