通过具有有限剩余域的完备离散赋值环上的随机矩阵研究Cohen-Lenstra分布

设$(R, \mathfrak{m})$为具有有限剩余域$R/\mathfrak{m} = \mathbb{F}_{q}$的完备离散赋值环。给定首一多项式$P(t) \in R[t]$，其模$\mathfrak{m}$约化给出不可约多项式$\bar{P}(t) \in \mathbb{F}_{q}[t]$，我们着手研究$\mathrm{coker}(P(A))$的分布，其中$A \in \mathrm{Mat}_{n}(R)$是相对于$n \times n$ $R$-矩阵加法群$\mathrm{Mat}_{n}(R)$上的Haar概率测度随机选取的。我们的主要结果之一推广了Friedman和Washington的两项结果。我们的其他结果涉及随机矩阵$\bar{A} \in \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F}_{q})$在均匀分布下$\bar{P}$-部分的分布，其中一项推广了Fulman的结果。我们启发式地将我们的结果与Cohen和Lenstra的著名猜想联系起来，该猜想预测：给定奇素数$p$，任何有限阿贝尔$p$-群（即$\mathbb{Z}_{p}$-模）$H$作为$\mathbb{Q}$的随机虚二次域扩张的$p$-部分类群出现的概率与$|\mathrm{Aut}_{\mathbb{Z}}(H)|$成反比。我们回顾了关于Cohen-Lenstra猜想的三种不同启发式方法，它们都与我们主要猜想的特例相关，而我们将该主要猜想作为主定理证明。在证明中，我们利用$\mathrm{Mat}_{n}(R)$与$\mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F}_{q})$之间的一些具体组合联系，将关于$\mathrm{Mat}_{n}(R)$中Haar随机矩阵的问题转化为关于$\mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F}_{q})$中均匀分布随机矩阵的问题。