类群坏部分的分布

Cohen-Lenstra-Martinet 启发式给出了当 $K$ 遍历 $\Gamma$-域且 $p\nmid|\Gamma|$ 时 $\operatorname{Cl}_K[p^\infty]$ 分布的预测。在本文中，我们证明了关于某些 $p||\Gamma|$ 的理想类群分布的若干结果，并表明其行为与 $p\nmid|\Gamma|$ 时启发式所预测的有质的不同。我们通过使用 genus 理论和类群的不变量部分来研究类群的代数结构。对于一般数域，我们的结果依赖于一个关于域计数的自然猜想；对于阿贝尔域或 $D_4$-域，我们的结果是无条件的。