非阿贝尔 Cohen--Lenstra 启示式的虚数情形

对于有限群 $\Gamma$，我们研究 Galois 群 $G_{\emptyset}^{\#}(K)$ 的分布，其为 $K$ 的最大惯性延伸，其中在 $\infty$ 处完全分裂且度数与 $|\Gamma|$ 和 $\textit{Char}(K)$ 互素，作为 $K$ 变化范围是 $\mathbb{Q}$ 或 $\mathbb{F}_q(t)$ 上的虚数 $\Gamma$ 扩张。在函数场情形下，我们通过计数 Hurwitz 堆栈来计算 $G_{\emptyset}^{\#}(K)$ 分布的矩。为了理解该分布的概率，我们证明 $G_{\emptyset}^{\#}(K)$ 具备特定形式的表征，然后利用该表征构建随机群来模拟 $G_{\emptyset}^{\#}(K)$ 的行为，并提出使用这些随机群的概率测度来预测分布。我们的结果提供了 Wood、Zureick-Brown 和第一作者关于非阿贝尔 Cohen--Lenstra 启示式工作的虚数类比。