极大非分歧扩张的 Galois 群的一个预测分布

我们考虑当 $K$ 取遍 $\mathbb{Q}$ 或 $\mathbb{F}_q(t)$ 的 $\Gamma$-扩张时，极大非分歧扩张的 Galois 群 $\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{un}}/K)$ 的分布。我们证明了 $\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{un}}/K)$ 的两条来自数论的性质，并以此作为动机来在具有这些性质的 profinite 群上构建一个概率分布。在第一部分，我们将此分布构建为 $n$-生成 profinite 群上分布的极限。在第二部分，我们证明当 $q\rightarrow\infty$ 时，随着 $K$ 取遍 $\mathbb{F}_q(t)$ 的全实 $\Gamma$-扩张，$\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{un}}/K)$ 与我们在第一部分中的分布在互素于 $q(q-1)|\Gamma|$ 的矩上一致。特别地，我们证明对每个有限群 $\Gamma$，在 $q\rightarrow\infty$ 极限下，$\mathbb{F}_q(t)$ 的全实 $\Gamma$-扩张的类群分布的素至-$q(q-1)|\Gamma|$ 矩与 Cohen--Lenstra--Martinet 启发式预测的矩一致。