阿贝尔扩张类群分布研究

给定有限阿贝尔群 $\Gamma$，我们研究当 $K$ 变化于具有同构于 $\Gamma$ 的 Galois 扩张（$\mathbb{Q}$ 或 $\mathbb{F}_q(t)$）时，类群 $\operatorname{Cl}(K)$ 的 $p$ 部分分布。我们首先为每个 $\mathbb{Q}_p[\Gamma]$ 的原始幂等元 $e$ 构造离散价值环 $e\mathbb{Z}_p[\Gamma]$，使得：1) $e\mathbb{Z}_p[\Gamma]$ 是不可约 $\mathbb{Q}_p[\Gamma]$-模 $e\mathbb{Q}_p[\Gamma]$ 的格；2) $e\mathbb{Z}_p[\Gamma]$ 自然是 $\mathbb{Z}_p[\Gamma]$ 的商。对于每个 $e$，我们研究 $e\operatorname{Cl}(K):=e\mathbb{Z}_p[\Gamma] \otimes_{\mathbb{Z}_p[\Gamma]} \operatorname{Cl}(K)[p^{\infty}]$ 的分布，并证明存在 $e\mathbb{Z}_p[\Gamma]$ 的理想 $I_e$，使得 $e\operatorname{Cl}(K) \otimes (e\mathbb{Z}_p[\Gamma]/I_e)$ 的矩为有限，而 $I_e \cdot e\operatorname{Cl}(K)$ 应与 Cohen--Lenstra 类型概率测度等分布。我们给出 $I_e\cdot e\operatorname{Cl}(k)$ 分布概率和矩的猜想，并在函数域情形下证明了加权矩猜想。我们的加权矩技术旨在处理函数域矩（通过计数 Hurwitz 空间点）为无穷的情况；我们期望该技术也可用于研究其他坏素的情况。我们的猜想在 $p\nmid |\Gamma|$ 时与 Cohen--Lenstra--Martinet 猜想一致，在 $\Gamma=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 时与 Gerth 猜想一致。我们还研究了 $\operatorname{Cl}(K) \to \bigoplus_e e\operatorname{Cl}(K)$ 的核，表明当 $p^2\mid |\Gamma|$ 时，该核的平均大小为无穷。