多项式在随机整数矩阵处取值的余核的分布

给定素数 $p$，设 $P(t)$ 为 $p$ 进整数环 $\mathbb{Z}_{p}$ 上关于 $t$ 的非恒定首一多项式。设 $X_{n}$ 为 $\mathbb{Z}_{p}$ 上的 $n \times n$ 随机矩阵，其独立元素以至多 $1 - \epsilon$ 的概率落在模 $p$ 的任意剩余类中，其中固定实数 $0 < \epsilon < 1$。我们证明当 $n \rightarrow \infty$ 时，$P(X_{n})$ 的余核 $\mathrm{cok}(P(X_{n}))$ 的分布收敛于由某些类似于Cohen--Lenstra测度的显式测度之有限乘积给出的分布。例如，随机矩阵 $X_{n}$ 可取为Haar随机矩阵或均匀随机 $(0,1)$-矩阵。我们将 $\mathrm{cok}(P(X_{n}))$ 的分布视为 $\mathbb{Z}_{p}[t]/(P(t))$ 上的模的分布，相较于将其视为阿贝尔群的分布，这给出了更清晰的表述。证明中，我们首先将问题约化为对足够大正整数 $k$ 在 $\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z}$ 上（替代 $\mathbb{Z}_{p}$）的问题。随后利用Sawin与Wood的结果，将问题约化为另一问题：计算从模 $p^{k}$ 的 $\mathrm{cok}(P(X_{n}))$ 到固定有限大小 $(\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z})[t]/(P(t))$-模 $G$ 的满射 $(\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z})[t]/(P(t))$-线性映射的期望个数的极限。为估计期望个数并计算所需极限，我们细致采纳了Wood所发展的精妙技巧，这些技巧原用于计算随机图的沙堆群的 $p$-部分的渐近分布。