随机 $p$-进矩阵余核的联合分布 II

本文中，我们研究余核 $\text{cok}(A_n+px_iI_n)$（$1 \le i \le m$）之间的组合关系，其中 $A_n$ 是 $p$-进整数环 $\mathbb{Z}_p$ 上的 $n \times n$ 矩阵，$I_n$ 为 $n \times n$ 单位矩阵，$x_1, \cdots, x_m$ 是 $\mathbb{Z}_p$ 中模 $p$ 归约互不相同的元素。对于正整数 $m \le 4$ 及给定的 $x_1, \cdots, x_m \in \mathbb{Z}_p$，我们确定了有限生成 $\mathbb{Z}_p$-模 $m$-元组 $(H_1, \cdots, H_m)$ 的集合，使得对某个矩阵 $A_n$ 有 $(\text{cok}(A_n+px_1I_n), \cdots, \text{cok}(A_n+px_mI_n)) = (H_1, \cdots, H_m)$。我们还证明，若对每个正整数 $n$，$A_n$ 是 $\mathbb{Z}_p$ 上的 $n \times n$ Haar 随机矩阵，则 $\text{cok}(A_n+px_iI_n)$（$1 \le i \le m$）的联合分布当 $n \rightarrow \infty$ 时收敛。