矩阵乘积的秩波动与增长群的矩方法

我们考虑独立 $n \times n$ 随机整数矩阵乘积的余核 $G_n = \mathbf{Cok}(A_{k} \cdots A_2 A_1)$，这些矩阵的元素独立同分布且来自一般的非退化分布，研究区域为 $n$ 和 $k$ 同时趋于 $\infty$ 的情形。在该区域中，我们证明余核统计量在 $1$ 点边缘分布的水平上普适地收敛于反射 Poisson 海（一种在 arXiv:2312.11702 中构造的相互作用粒子系统）。特别地，$\operatorname{corank}(A_{k} \cdots A_2 A_1 \pmod{p}) \sim \log_p k$，其波动为 $O(1)$ 且收敛于 arXiv:2310.12275 中定义的离散随机变量。与以往研究随机矩阵余核的工作的主要区别在于，$G_n$ 不收敛于随机有限群；例如，$G_n$ 的 $p$ 秩发散。这意味着通常用于随机群的矩方法不再适用。相反，我们通过证明一个适用于一般尺寸增长的随机群序列的“重标度矩方法”定理来推进研究。该结果确立了 $p$ 秩及其他统计量的波动仍然收敛于极限随机变量，前提是某些重标度矩 $\mathbb{E}[\#\operatorname{Hom}(G_n,H)]/C(n,H)$ 收敛。