有限域上块双对角矩阵的秩演化

我们研究有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的一致随机块下双对角矩阵，并证明其秩经历相变。首先，我们考虑具有 $(k_n+1)\times k_n$ 个块且每个块大小为 $n\times n$ 的块下双对角矩阵。我们证明，若 $k_n\ll q^{n/2}$，则这些矩阵以高概率满秩；若 $k_n\gg q^{n/2}$，则秩具有高斯涨落。其次，我们考虑具有 $k_n\times k_n$ 个块且每个块大小为 $n\times n$ 的块下双对角矩阵。我们证明，若 $k_n\ll q^{n/2}$，则秩表现出与 Nguyen 和 Van Peski 所考虑的矩阵乘积秩相同的常数阶涨落；若 $k_n\gg q^{n/2}$，则秩具有高斯涨落。最后，我们还考虑第一个模型的截断版本，其中我们证明在 $k_n\approx q^{n/2}$ 处，秩的 Cohen-Lenstra 极限行为与高斯极限行为之间存在相变。我们还表明，在这些矩阵的核中，向量在同一临界点存在局域化/离域化相变。在所有三种情况下，我们还提供了临界点处秩行为的精确描述。这些结果是通过分析由这些矩阵秩的增量所得到的马尔可夫链的极限行为来证明的。