有限域上随机矩阵的永久秩与行列式秩

本文受到关于有限域上永久的基本复杂度和概率问题的启发，特别是关于分离永久与行列式性质的问题。固定 $q = p^m$ 为奇素数的幂，且 $k \leq n$ 两者均随增长。对于均匀随机 $n \times k$ 矩阵 $A$ 关于 $\mathbb{F}_q$，我们研究所有 $k \times k$ 子矩阵永久为零的概率；即 $A$ 是否不具备完整“永久秩”。当 $k = n$ 时，这仅是随机方阵永久为零的概率，我们不理解。我们认为该概率为 $\frac{1}{q} + o(1)$，这将与行列式的情况形成对比，其中答案是 $\frac{1}{q} + \Omega_q(1)$。我们的主要结果是，当 $k = O(\sqrt{n})$ 时，随机 $n \times k$ 矩阵不具备完整永久秩的概率基本等于矩阵具有零列的概率，即 $(1 +o(1)) \frac{k}{q^n}$。相反，对于行列式（标准）秩，类似概率是 $\Theta(\frac{q^k}{q^n})$。我们结果的核心是一些基本线性代数性质，这些性质区分了永久与行列式。