关于积和式秩的线性保秩映射

设 ${\rm Mat}_n(\mathbb{F})$ 表示特征不为二的域 $\mathbb{F}$ 上 $n\times n$ 方阵的集合。矩阵 $A \in{\rm Mat}_{n}(\mathbb{F})$ 的积和式秩 ${\rm prk}\,(A)$ 是 $A$ 中积和式非零的最大方阵子矩阵的阶。以 $\Lambda^{k}$ 与 $\Lambda^{\leq k}$ 分别表示满足 ${\rm prk}\,(A) = k$ 与 ${\rm prk}\,(A) \leq k$ 的矩阵 $A \in {\rm Mat}_{n}(\mathbb{F})$ 的子集。本文对 each $1 \leq k \leq n-1$，完整刻画了满足 $T(\Lambda^{\leq k}) = \Lambda^{\leq k}$ 或满足 $T(\Lambda^{\leq k}) \subseteq \Lambda^{\leq k}$ 的双射线性映射的线性映射 $T: {\rm Mat}_{n}(\mathbb{F}) \to {\rm Mat}_{n}(\mathbb{F})$。此外，我们证明若 $\mathbb{F}$ 为无限域，则 $\Lambda^{k}$ 在 $\Lambda^{\leq k}$ 中 Zariski 稠密，并应用此结论刻画满足 $T(\Lambda^{k}) \subseteq \Lambda^{k}$ 的此类双射线性映射。