线性 k 次幂保持子与幂积迹保持子的迹

设 $V$ 为 $n\times n$ 复或实一般矩阵、Hermitian 矩阵、对称矩阵、正定（或半正定）矩阵、对角矩阵或上三角矩阵的集合。固定 $k\in \mathbb{Z}\setminus \{0, 1\}$。我们刻画了满足在 $V$ 中 $I_n$ 的开放邻域 $S$ 上 $\psi(A^k)=\psi(A)^k$ 的线性映射 $\psi:V\to V$。该 $k$ 次幂保持子必然是 $k$ 次幂保持子，且 $k=2$ 的情形对应于 Jordan 同态。应用上述结果，我们刻画了满足“对所有 $A\in V$、$B\in S$ 且 $\psi$ 为线性，有 $\operatorname{tr}(\phi(A)\psi(B)^k)=\operatorname{tr}(AB^k)$”或“对所有 $A, B\in S$ 且 $\phi$ 与 $\psi$ 均为线性，有 $\operatorname{tr}(\phi(A)\psi(B)^k)=\operatorname{tr}(AB^k)$”的映射 $\phi,\psi:V\to V$。这些刻画系统地推广了文献中的已有结果，并在量子信息论等领域有许多应用。我们的刻画中广泛使用了若干结构定理与矩阵上的幂级数。