矩阵K正性保持子 Characterization

对于任意闭合子集 $K\subseteq\mathbb{R}^n$，在[di Dio, Schm"udgen: K-Positivity Preserver and their Generators, SIAM J. Appl. Algebra Geom. 9 (2025), 794--824]中已对所有K正性保持子进行了表征，即所有满足 $Tp\geq 0$ 在 $K$ 上的线性映射 $T:\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]\to\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]$ 使得在 $K$ 上对所有 $p\geq 0$ 都成立。具有实系数的多项式 $\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]$ 的重要扩展是带矩阵系数的多项式 $\mathbb{R}^{m\times m}[x_1,\dots,x_n]$。对于具有Hermitian系数的矩阵多项式 $\mathrm{Herm}_m$，其在 $K$ 上的非负性即为 $p(x)\succeq 0$ 对所有 $x\in K$ 成立。在本文中，我们研究线性映射 $T:\mathrm{Herm}_m[x_1,\dots,x_n]\to\mathrm{Herm}_m[x_1,\dots,x_n]$。我们关注矩阵K正性保持子，即 $Tp\succeq 0$ 在 $K$ 上的所有 $p\succeq 0$ 在 $K$ 上的情况。对于 $K=\mathbb{R}^n$ 和紧凑子集 $K\subseteq\mathrm{R}^n$，我们给出了矩阵K正性保持子的表征。我们讨论了实系数情况与矩阵系数情况之间的差异，并说明在一般子集 $K\subseteq\mathbb{R}^n$ 中 $K\neq \mathbb{R}^n$ 且 $K$ 不紧凑时我们的证明为何会失败。