关于从 $M_{n}(\mathbb{C})$ 到 $M_{n^{2}}(\mathbb{C})$ 的一族线性映射

Bhat 刻画了定义在 $B(\mathcal{H})$ 上保持酉共轭的线性映射族。我们推广这一思想，并研究有限维矩阵代数上具有类似等变性质的映射。我们表明具有等变性质的映射对于研究有限维矩阵代数上线性映射的 $k$-正性具有重要意义。Choi 证明了在 $n$ 乘 $n$ 矩阵代数上定义的线性映射的 $n$-正性与 $(n-1)$-正性不同。在本文中，我们给出参数化线性映射族 $\Phi_{\alpha, \beta,n} : M_{n}(\mathbb{C}) \rightarrow M_{n^{2}}(\mathbb{C})$ 并研究其正性、完全正性、可分解性等性质。我们确定了使映射族 $\Phi_{\alpha, \beta,n}$ 对任意自然数 $n \geq 3$ 为正性的参数 $\alpha$ 与 $\beta$ 的值。我们聚焦于 $n=3$ 的情形，即 $\Phi_{\alpha, \beta,3}$，并研究其 $2$-正性、完全正性与可分解性。特别地，我们给出使映射族 $\Phi_{\alpha, \beta,3}$ 为 $2$-正但非完全正的参数 $\alpha$ 与 $\beta$ 的值。