$C^*$-代数上正线性映射的 Gr"uss 型不等式

设 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 为两个含幺 $C^*$-代数，且对于 $C\in\mathcal{A},\ \Gamma_C=\{\gamma \in \mathbb{C} : \|C-\gamma I\|=\inf_{\alpha\in \mathbb{C}} \|C-\alpha I\|\}$。我们证明，若 $\Phi :\mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B}$ 是一个含幺正线性映射，则对所有 $A,B\in\mathcal{A}, \zeta \in \Gamma_A$ 和 $\xi\in\Gamma_B$，有 \begin{eqnarray*} \big|\Phi(AB)-\Phi(A)\Phi(B)\big| \leq \big\|\Phi(|A^*-\zeta I|^2)\big\|^\frac{1}{2} \big[\Phi(|B-\xi I|^2)\big]^\frac{1}{2} \end{eqnarray*} 此外，我们证明若 $(\mathcal{A},\tau)$ 是一个非交换概率空间且 $T \in \mathcal{A}$ 是密度算子，则对每个 $A,B \in \mathcal{A}$ 和 $\zeta \in \Gamma_A,\xi\in\Gamma_B$，有 \begin{eqnarray*} \ \ \big|\tau(TAB)-\tau(TA)\tau(TB)\big|\leq \|A-\zeta I\|_p\|B-\xi I\|_q\|T\|_r \ \ (p,q\geq 4, r\geq 2) \end{eqnarray*} 和 \begin{eqnarray*} \big|\tau(TAB)-\tau(TA)\tau(TB)\big|\leq \|A-\zeta I\|_p\|B-\xi I\|_q\|T\| \ \ \ \ (p,q\geq 2)\ \ \ \ \ \end{eqnarray*} 我们的结果将矩阵的相应结果推广到了任意维空间上的算子。