改进的 AM-GM 不等式的互补不等式

遵循 Lin 的一个想法，我们证明：若 $A$ 和 $B$ 是两个正算子，满足 $0<mI\le A\le m'I\le M'I\le B\le MI$，则 \begin{equation*} {{\Phi }^{2}}\left( \frac{A+B}{2} \right)\le \frac{{{K}^{2}}\left( h \right)}{{{\left( 1+\frac{{{\left( \log \frac{M'}{m'} \right)}^{2}}}{8} \right)}^{2}}}{{\Phi }^{2}}\left( A\#B \right), \end{equation*} 且 \begin{equation*} {{\Phi }^{2}}\left( \frac{A+B}{2} \right)\le \frac{{{K}^{2}}\left( h \right)}{{{\left( 1+\frac{{{\left( \log \frac{M'}{m'} \right)}^{2}}}{8} \right)}^{2}}}{{\left( \Phi \left( A \right)\#\Phi \left( B \right) \right)}^{2}}, \end{equation*} 其中 $K\left( h \right)=\frac{{{\left( h+1 \right)}^{2}}}{4h}$，$h=\frac{M}{m}$，且 $\Phi$ 是一个正的单位线性映射。