算子 Kantorovich 不等式初探

我们证明如下结果：设 $A$ 为正算子，满足 $0<m{{\mathbf{1}}_{\mathcal{H}}}\le A\le M{{\mathbf{1}}_{\mathcal{H}}}$，其中 $m,M$ 为标量且 $m<M$，并设 $\Phi$ 为归一化正线性映射，则 $$\Phi \left( {{A}^{-1}} \right)\le \Phi \left( {{m}^{\frac{A-M{{\mathbf{1}}_{\mathcal{H}}}}{M-m}}}{{M}^{\frac{m{{\mathbf{1}}_{\mathcal{H}}}-A}{M-m}}} \right)\le \frac{{{\left( M+m \right)}^{2}}}{4Mm}\Phi {{\left( A \right)}^{-1}}.$$