某些类型正线性映射的 Grüss 不等式

假设在作用于可分 Hilbert 空间的有界线性算子的双边理想上给定了一个酉不变范数 $|||\cdot|||$，它通过 $|||A|||=|||A\oplus 0|||$ 对所有有限的 $n$ 值在矩阵代数 $\mathcal{M}_n$ 上诱导了一些酉不变范数 $|||\cdot|||$。我们证明，如果 $\mathscr{A}$ 是一个有限维 $k$ 的 $C^*$-代数，且 $\Phi: \mathscr{A} \to \mathcal{M}_n$ 是一个保单位完全正映射，则对于任意 $A,B \in \mathscr{A}$，有 \begin{equation*} |||\Phi(AB)-\Phi(A)\Phi(B)||| \leq \frac{1}{4} |||I_{n}|||\,|||I_{kn}||| d_A d_B \end{equation*} 其中 $d_X$ 表示 $X$ 的酉轨道 $\{UXU^*: U \mbox{ is unitary}\}$ 的直径，$I_{m}$ 表示 $\mathcal{M}_{m}$ 的单位元。进一步，我们通过使用一些矩阵技巧，在全矩阵代数设置下获得了某些 $n$-正映射的类似不等式。我们还给出了任意维数 $C^*$-代数设置下的 Gr"uss 算子不等式，并将其应用于涉及算子连续场的一些不等式。