正线性映射下矩阵幂与 Karcher 均值的若干不等式

本文推广了涉及正定矩阵的矩阵幂与 Karcher 均值的若干矩阵不等式。在其他不等式之中，证明了若 ${\mathbb A}=(A_{1},...,A_{n})$ 为一 $n$ 元正定矩阵组，满足对某标量 $m< M$ 有 $0<m\leq A_{i}\leq M\, (i=1,\cdots,n)$，且 $\omega=(w_{1},\cdots,w_{n})$ 为权重向量，满足 $w_{i}\geq0$ 且 $\sum_{i=1}^{n}w_{i}=1$，则 \begin{align*} \Phi^{p}\Big(\sum_{i=1}^{n}w_{i}A_{i}\Big)\leq \alpha^{p}\Phi^{p}(P_{t}(\omega; {\mathbb A})) \end{align*} 与 \begin{align*} \Phi^{p}\Big(\sum_{i=1}^{n}w_{i}A_{i}\Big)\leq \alpha^{p}\Phi^{p}(\Lambda(\omega; {\mathbb A})), \end{align*} 其中 $p>0$，$\alpha=\max\Big\{\frac{(M+m)^{2}}{4Mm}, \frac{(M+m)^{2}}{4^{\frac{2}{p}}Mm}\Big\}$，$\Phi$ 为正单位线性映射且 $t\in [-1, 1]\backslash \{0\}$。