$f(A)\sigma f(B)$ 与 $A\sigma B$ 之间的矩阵不等式

设 $A$ 和 $B$ 为 $n\times n$ 正定复矩阵，$\sigma$ 为矩阵平均，$f : [0,\infty)\to [0,\infty)$ 为满足 $f(0)=0$ 的可微凸函数。我们证明 $$f^{\prime}(0)(A \sigma B)\leq \frac{f(m)}{m}(A\sigma B)\leq f(A)\sigma f(B)\leq \frac{f(M)}{M}(A\sigma B)\leq f^{\prime}(M)(A\sigma B),$$ 其中 $m$ 表示 $A$ 和 $B$ 的最小特征值，$M$ 表示 $A$ 和 $B$ 的最大特征值。若 $f$ 可微且凹，则反向不等式成立。我们利用所得结果在某些温和条件下改进了一些涉及酉不变范数的已知次可加性不等式。特别地，若 $f(x)/x$ 递增，则对所有满足 $M\leq A+B$ 的 $A$ 和 $B$ 有 $$|||f(A)+f(B)|||\leq\frac{f(M)}{M} |||A+B|||\leq |||f(A+B)|||$$ 成立。此外，我们将结果应用于探索一些相关不等式。作为应用，我们给出了 Minkowski 行列式不等式的一个推广。