几何凹函数与几何凸函数的 Araki–Lieb–Thirring 型不等式

对于正定矩阵 $A$ 和 $B$，Araki–Lieb–Thirring 不等式等价于关于分数次幂的特征值对数次优关系 $$\lambda(A^t B^t) \prec_{w(\log)} \lambda^t(AB), \quad 0<t\le 1,$$ 而当 $t\ge1$ 时，反向不等式成立。本文推广了这一不等式，用更广泛的函数类替换了分数次幂 $x^t$。具体而言，一个定义域为 $\dom(f)=[0,x_0)$（$x_0$ 为正数，可能为无穷）的连续、非负、几何凹函数 $f$，对所有谱包含于 $\dom(f)$ 的半正定矩阵 $A$ 和 $B$ 满足 $$\lambda(f(A) f(B)) \prec_{w(\log)} f^2(\lambda^{1/2}(AB)),$$ 当且仅当对所有 $x\in\dom(f)$ 有 $0\le xf'(x)\le f(x)$。对于连续、非负、几何凸函数，反向不等式成立当且仅当它们对所有 $x\in\dom(f)$ 满足 $xf'(x)\ge f(x)$。作为应用，我推导了 Golden–Thompson 不等式的一个互补不等式。