由极性诱导的泛函 Brunn-Minkowski 不等式
泛函分析
2019-10-24 v2 度量几何
摘要
我们证明了一族新的不等式，该不等式将非负函数的几何卷积的积分与原始函数的积分进行比较。对于经典的下卷积，这类不等式被称为 Pr\'{e}kopa-Leindler 不等式，当其局限于凸体的指示函数时，便给出了经典的 Brunn-Minkowski 不等式。我们所考虑的卷积是另一种卷积，它产生于对函数的极性变换的研究。下卷积是作为凸函数在 Legendre 变换下通常加法的拉回出现的，而我们的几何下卷积则是作为几何凸函数上的二阶反转变换（称为极性变换或 -变换）的拉回出现的。除了线性项外，这些是几何凸函数类上仅有的保序反转同构。我们证明了两个函数的这种新几何卷积的积分以各自积分的调和平均值为下界。我们的不等式蕴含了 Brunn-Minkowski 不等式，以及关于物体体积的一些其他新的不等式。我们的不等式与 Busemann 凸性定理密切相关，我们为 1-凸包和对数凹密度证明了该定理的一个新变体。
引用
@article{arxiv.1707.08732,
title = {Functional Brunn-Minkowski Inequalities Induced by Polarity},
author = {Shiri Artstein-Avidan and Dan I. Florentin and Alexander Segal},
journal= {arXiv preprint arXiv:1707.08732},
year = {2019}
}