Brunn-Minkowski 不等式与 $\mathcal{A}$-调和 Green 函数的 Minkowski 问题

在本文中，我们研究凸几何中与 $\mathcal{A}$-调和偏微分方程（结构以 $p$-Laplace 方程为模型的拟线性椭圆型偏微分方程）相关的两个经典问题。固定 $p$ 满足 $2\leq n\leq p<\infty$。对于 $\mathbb{R}^{n}$ 中的凸紧集 $E$，我们定义并证明了带无穷远极点的 $E$ 补集的所谓 $\mathcal{A}$-调和 Green 函数的存在性与唯一性。随后我们定义一个量 $\mbox{C}_{\mathcal{A}}(E)$，它可视为该函数在无穷远附近的性质。在本文第一部分，我们证明当 $n<p<\infty$、$0 \leq \lambda \leq 1$ 且 $E_1, E_2$ 为 $\mathbb{R}^{n}$ 中非空凸紧集时，$\mbox{C}_{\mathcal{A}}(\cdot)$ 满足如下 Brunn-Minkowski 型不等式 $$\left[\mbox{C}_\mathcal{A} ( \lambda E_1 + (1-\lambda) E_2 )\right]^{\frac{1}{p-n}} \geq \lambda \, \left[\mbox{C}_\mathcal{A} ( E_1 )\right]^{\frac{1}{p-n}} + (1-\lambda) \left[\mbox{C}_\mathcal{A} (E_2 )\right]^{\frac{1}{p-n}}$$ 我们还证明当 $p=n$ 时 $\mbox{C}_{\mathcal{A}}(\cdot)$ 满足类似不等式。此外，若在上述任一不等式中对某些 $E_1$ 和 $E_2$ 取等号，则在 $\mathcal{A}$ 的一定正则性与结构假设下，我们证明这两个集合是位似的。在本文第二部分，我们研究当 $n\leq p<\infty$ 时与凸紧集 $E$ 补集的 $\mathcal{A}$-调和 Green 函数相关联的测度的 Minkowski 型问题。若 $\mu_E$ 表示该测度，则我们证明此情形下存在的充要条件与经典 Minkowski 问题完全相同。我们还证明该问题在平移意义下具有唯一解。