非线性容量的 Brunn-Minkowski 不等式与 Minkowski 问题

在本文中，我们研究了凸几何中对应于非线性容量 $\mbox{Cap}_{\mathcal{A}}$ 的两个经典位势理论问题，其中 $\mathcal{A}$-容量与一个非线性椭圆偏微分方程相关联，该方程的结构以 $p$-Laplace 方程为模型，其在开集中的解称为 $\mathcal{A}$-调和。在本文的第一部分，我们证明了该容量的 Brunn-Minkowski 不等式：$$\left[\mbox{Cap}_\mathcal{A}(\lambda E_1 +(1-\lambda)E_2)\right]^{\frac{1}{(n-p)}}\geq\lambda\left[\mbox{Cap}_\mathcal{A}(E_1)\right]^{\frac{1}{(n-p)}}+(1-\lambda)\left[\mbox{Cap}_\mathcal{A}(E_2 )\right]^{\frac{1}{(n-p)}}$$ 当 $1<p<n$、$0<\lambda <1$ 且 $E_1, E_2$ 为具有正 $\mathcal{A}$-容量的凸紧集时成立。此外，若上述不等式对某些 $E_1$ 和 $E_2$ 取等号，则在关于 $\mathcal{A}$ 的一定正则与结构假设下，我们证明这两个集合是位似的。在本文第二部分，我们研究一个与紧凸集 $E$（具有非空内部）及其在 $E$ 补集内的 $\mathcal{A}$-调和容度函数相关的某测度的 Minkowski 问题。若 $\mu_E$ 表示此测度，则我们在该情形下考虑的 Minkowski 问题为：对于给定的 $\mathbb{S}^{n-1}$ 上的有限 Borel 测度 $\mu$，找出存在满足 $\mu_E =\mu$ 的上述 $E$ 的充要条件。我们证明在此情形下存在的充要条件与经典体积 Minkowski 问题以及 Jerison 关于静电容量的工作中的条件完全相同。利用第一部分的 Brunn-Minkowski 不等式结果，我们还证明该问题在 $p\neq n- 1$ 时平移唯一，在 $p = n-1$ 时平移和伸缩唯一。