论凸性在泛函不等式与等周不等式中的作用

这是我们之前工作 0712.4092 的延续。众所周知，各种等周不等式蕴含其泛函“对应物”，但一般而言这并非等价关系。我们表明，在某些凸性假设下（例如欧几里得空间中的对数凹概率测度），这种蕴含关系对于非常普遍的不等式实际上是可以逆转的，从而推广了由 Buser 和 Ledoux 提出的 Cheeger 不等式的逆形式。我们发展了一个连贯的统一框架，用于在等周不等式、Orlicz-Sobolev 泛函不等式和容量不等式之间进行转换，其中容量不等式是由 Maz'ya 引入并由 Barthe--Cattiaux--Roberto 推广的概念。作为一个应用，我们扩展了后几位作者关于在没有中心极限障碍时等周剖面的张量积稳定性的已知结果。作为另一个应用，我们表明在我们的凸性假设下，$q$-log-Sobolev 不等式（$q \in [1,2]$）等价于一个适当的等周不等式族，从而扩展了 Bakry--Ledoux 和 Bobkov--Zegarlinski 的结果。我们的结果可推广到满足 Bakry--\'Emery 的 $CD(0,\infty)$ 曲率 - 维数条件的更一般的带密度黎曼流形情形。