与具有部分自由边界的等周不等式相关的一些不等式

本文的主要目的是证明凸有界域外部中的一个尖锐 Sobolev 不等式。证明中有两个要素:其一是对具有部分自由边界的一些新等周不等式的观察,其二是任一非负函数在 Schwarz 等测度重排下的一个积分不等式(源自 Duff [9])。这些要素也使我们能够建立一些 Moser-Trudinger 型不等式,并得到具有部分自由边界的膜的主频率的一些估计,从而将 Nehari [15] 与 Bandle [5] 关于二维域的早期结果推广到任意维域(维数 $\ge 2$)。