半正定矩阵的范数与反范数不等式

得到了一些涉及对称（酉不变）范数的次可加性结果。例如，若$g(t)=\sum_{k=0}^m a_kt^k$是系数非负的$m$次多项式，则对所有正算子$A,\,B$和所有对称范数，有$\|g(A+B)\|^{1/m} \le \|g(A)\|^{1/m} + \|g(B)\|^{1/m}$。为给出并行的超可加性结果，我们研究了反范数，这是一类包含$q\in(0,1]$和$q<0$的Schatten $q$-范数的泛函。这些结果是Minkowski行列式不等式的推广。推导了一些分块矩阵的估计。例如，设$f:[0,\infty) \to [0,\infty)$为凹函数且$p\in(1,\infty)$。若$f^p(t)$是超可加的，则对所有正$m\times m$矩阵$A=[a_{ij}]$，有$Tr f(A) \ge (\sum_{i=1}^m f^p(a_{ii}))^{1/p}$。此外，对于归一化迹$\tau$，我们考虑了使得泛函$A\mapsto\phi\circ\tau\circ f(A)$为凸或凹的函数$\phi(t)$和$f(t)$，并得到了一个简单的解析判据。