用迹不等式刻画 Schwarz 映射

设 $\phi$ 是从 $n\times n$ 矩阵 ${\mathcal M}_n$ 到 $m\times m$ 矩阵 ${\mathcal M}_m$ 的线性映射。已知 $\phi$ 是 $2$-正的当且仅当对所有 $K\in {\mathcal M}_n$ 与所有严格正定的 $X\in {\mathcal M}_n$，有 $\phi(K^*X^{-1}K) \geq \phi(K)^*\phi(X)^{-1}\phi(K)$。若 $\phi$ 仅为 Schwarz 映射，该不等式一般不成立。我们证明相应的迹不等式 ${\rm Tr}[\phi(K^*X^{-1}K)] \geq {\rm Tr}[\phi(K)^*\phi(X)^{-1}\phi(K)]$ 对本文所给出的一类更广泛的正映射成立。我们还评述了该不等式与数学物理中广为使用的各种单调性的联系，并应用它及其一个相近形式得到了一些新的确定性结果。